3D Transformations

지금까지 살펴본 변환들은 모두 도형의 형태나 크기를 변환시키지 않고, 단순히 위치를 이동시키는 변환들이다. 이를 Euclidean transformation이라고 한다.

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

하지만 도형을 확대/축소시키거나 형태에 변형을 가하는 등 자유도가 높은 변환들도 존재한다. 이러한 변환들은 추후 Camera model 등에서 사용되니 간단히 소개하는 형태로 살펴보도록 하겠다.

Similarity Transformation

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} sR & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Similarity transformation은 Euclidean transformation에 scaling을 추가한 변환으로, 도형의 형태를 유지한 채 크기만 변환시킨다. 총 7DoF를 가진다.

Affine Transformation

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Affine transformation은 rotation matrix $\mathbf{R}$ 대신 임의의 invertible 행렬 $\mathbf{A}$를 사용하는 변환이다. 이때 $\mathbf{A}$는 orthogonal하지 않아도 된다. 정사각형을 마름모로 찌그러뜨리거나 직사각형을 평행사변형으로 변환시키는 등의 변환이 이에 해당된다. 총 12DoF를 가진다.

2차원 Affine transformation을 시각화하면 아래와 같다.

실제 사진에서 2차원 Affine transformation은 아래와 같다.

Projective Transformation

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & t \\ \mathbf{a}^T & 1 \end{bmatrix}$

Projective transformation은 가장 자유도가 높은 변환으로, 물체의 원근감까지 표현할 수 있다. 마지막 row의 $\mathbf{a}^T$가 원근감 역할을 한다. 이 변환은 3차원 공간을 2차원으로 투영하는 것을 표현할 수 있다. 예를 들어 카메라로 바닥의 정사각형 타일을 찍는 경우, 각도에 따라 정사각형이 마름모 등으로 변형될 것이며 원근으로 인해 멀리 있는 변의 길이가 줄어들어 변들이 수직이거나 평행하지 않게 될 것이다. 총 15DoF를 가진다.

실제 사진에서 2차원 Projective transformation은 아래와 같다.

여러 종류의 변환을 2D 좌표평면에서 표현하면 아래 그림과 같다. 이때는 Transformation matrix가 3x3이 된다.

Decomposition of Projective Transformations

임의의 Projective transformation은 similarity, affine, projective 변환으로 분해할 수 있다.

$\mathbf{T} = \mathbf{T}_s \mathbf{T}_a \mathbf{T}_p$

$\mathbf{T}_s = \begin{bmatrix} s\mathbf{R} & t \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{T}_a = \begin{bmatrix} \mathbf{K} & 0 \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{T}_p = \begin{bmatrix} \mathbf{I} & 0 \\ \mathbf{v}^T & v \end{bmatrix}$