Rotation Vectors

앞선 포스팅에서 설명한 Rotation matrix의 경우 9개의 parameter를 가지고 있는데, 실제 3차원 회전은 3DoF를 가지므로 redundancy가 생긴다. Transformation matrix의 경우에도 16개의 parameter를 가지고 있지만, 3차원 변환은 6DoF를 가진다. 또한 Rotation과 transformation matrix는 determinant가 1이어야 하므로 부가적인 constraint가 생긴다.

Rotation과 transformation이 많은 경우 주된 표현법으로 사용되지만, 다른 표현법으로 Rotation vector가 있다. 방향은 회전축과 평행하고 길이는 회전 각도와 같게 설정한 벡터다. 따라서 3개의 변수로 3DoF를 표현할 수 있다. 또한 3차원 translation vector와 함께 사용되어 6개의 변수로 6DoF를 표현할 수 있다.

회전축의 방향이 단위벡터 $\mathbf{n}$과 평행하고 회전각이 $\theta$일 때, Rotation vector는 $\theta\mathbf{n}$으로 표현될 수 있다.

Rotation matrix $\mathbf{R}$와 Rotation vector $\theta\mathbf{n}$의 관계는 다음과 같다. 우선 Rotation vector로부터 rotation matrix를 계산하는 과정은 Rodrigues' formula를 사용하는데, 결과만 살펴보면 아래와 같다.

$R = \cos\theta\mathbf{I} + (1 - \cos\theta)\mathbf{n}\mathbf{n}^T + \sin\theta\mathbf{n}^\wedge$

이때 $\mathbf{n}^\wedge$는 skew-symmetric matrix로 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{n}^\wedge = \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix}$

이를 이용하여 Rotation matrix $\mathbf{R}$로부터 Rotation vector $\theta\mathbf{n}$을 계산하는 과정은 다음과 같다. 우선 $\theta$의 경우 양변에 trace를 취한다.

$\begin{align*} \text{tr}(\mathbf{R}) & = \cos\theta\text{tr}(\mathbf{I}) + (1 - \cos\theta)\text{tr}(\mathbf{n}\mathbf{n}^T) + \sin\theta\text{tr}(\mathbf{n}^\wedge) \\ & = 3\cos\theta + (1 - \cos\theta) \\ & = 1 + 2\cos\theta \end{align*}$

따라서,

$\theta = \arccos\left(\frac{\text{tr}(\mathbf{R}) - 1}{2}\right)$.

회전축 $\mathbf{n}$의 경우 회전하더라도 변하지 않으므로 그대로 사용할 수 있다.

이 변환 공식은 다음 단원인 3. Lie Group and Lie Algebra에서도 등장하는 공식이다.

Euler Angles

Rotation vector보다 더 직관적인 방법으로 Euler Angle이 있다. Rotation vector에서는 임의의 회전축이 가능한 반면, Euler Angle에서는 X, Y, Z축을 기준으로 회전을 정의하는데, 각 축을 기준으로 몇 도씩 회전했는지를 나타낸다. 따라서 3개의 변수로 3차원 회전을 표현할 수 있다. 이때 유의할 점은, 어떤 축을 기준으로 먼저 회전시킬지에 따라 결과가 달라진다는 것이다. 또한 회전의 기준이 되는 X, Y, Z축을 고정시킬 것인지, 회전축까지 함께 회전시킬 것인지에 따라서도 결과가 달라진다. 여러 분야마다 각각의 convention이 존재하지만 이 책에서는 ZYX 순서로 진행하고, 회전축을 함께 회전시키는 방법을 사용한다.

Euler Angle은 $[y, p, r]^T$로 표기할 수 있고, 각각 Yaw, Pitch, Roll을 의미한다.

위 그림은 ZYX 순서로 회전하는 경우를 나타낸다. 회전축까지 함께 회전하기 때문에 Y와 X축 회전을 할 때는 처음 회전축을 기준으로 하는 것이 아닌 회전된 축을 기준으로 회전한다.

Gimbal Lock

Euler Angle의 경우 Gimbal Lock이라는 문제를 내재하고 있는데, 이는 Euler Angle이 SLAM과 같은 문제에 직접적으로 활용되지 못하게 하는 원인이다.

위 그림은 ZYX 회전 상황에서 Y축 회전인 pitch가 90도인 경우를 나타낸다. 이러한 경우 X축의 방향과 -Z축의 방향이 같아지게 되고, 이로 인해 X축 회전인 roll이 사라지게 된다. 이렇게 DoF를 하나 잃는 상황을 Gimbal Lock 또는 Singularity problem이라고 한다. 이론적으로 3개의 수로 3차원 회전을 표현하려고 하면 Gimbal Lock 문제를 피할 수 없다. 이러한 문제들로 인해, SLAM에서는 일반적으로 Rotation matrix나 Rotation vector를 사용하지 않는다.